Question

（2009•閘北區(qū)二模）設(shè)f(x)=

a-2x

1+2x

，其中實(shí)常數(shù)a≥-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）試研究函數(shù)f（x）的基本性質(zhì)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的解析式易得定義域?yàn)镽，由于a的取值范圍不同，函數(shù)的值域形式不同，要分a=-1，a＞-1兩種情況研究函數(shù)值域；
（II）函數(shù)的性質(zhì)主要是批函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，根據(jù)函數(shù)的解析式，先判斷出性質(zhì)再依據(jù)定義證明即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-1，定義域?yàn)镽 
當(dāng)a＞-1時(shí)，由于1+2^x＞0恒成立，所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽
又f(x)=

a+1-1-2x

1+2x

=-1+

a+1

1+2x

，
當(dāng)a＞-1時(shí)，因?yàn)?^x＞0，所以2^x+1＞1，
0＜

a+1

1+2x

＜a+1，從而-1＜f（x）＜a，
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，a）．
綜上，當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)值為-1；當(dāng)a＞-1時(shí)，函數(shù)值域是（-1，a）． 
（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則，對(duì)于任意的x∈R，有f（-x）=-f（x）成立，
即

a-2-x

1+2-x

=-

a-2x

1+2x

化簡(jiǎn)得（a-1）（1+2^x）=0得a=1
∴當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
當(dāng)a＞-1，且a≠1時(shí)，函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)．
∵對(duì)于任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，a＞-1
有f(x1)-f(x2)=

(a+1)2x1(2x2-x1-1)

(1+2x1)(1+2x2)

≥0
當(dāng)a＞-1時(shí)，函數(shù)f（x）是遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題研究一個(gè)與指數(shù)有關(guān)的性質(zhì)的研究，涉及到了函數(shù)的定義域值域單調(diào)性奇偶性，解題的關(guān)鍵理解函數(shù)的性質(zhì)，且能掌握函數(shù)性質(zhì)的證明方法，本題求值域時(shí)對(duì)函數(shù)解析式分離常數(shù)是重點(diǎn)，研究函數(shù)奇偶性時(shí)，對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論是本題的難點(diǎn)．