Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD中為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定實數t的值，使得PA∥平面MQB．

Answer 1

【答案】分析：（1）PA=PD，連BD，四邊形ABCD菱形，Q為 AD中點，證明平面PAD內的直線AD，垂直平面PQB內的兩條相交直線BQ，PQ，
即可證明平面PQB⊥平面PAD；
（2）連AC交BQ于N，交BD于O，點M在線段PC上，PM=tPC，實數t=的值，說明PA∥平面MQB，利用PA∥MN，
說明三角形相似，求出t=．
解答：解：（1）連BD，四邊形ABCD菱形∵AD=AB，∠BAD=60°
∴△ABD是正三角形，Q為 AD中點
∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q為 AD中點AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD
（2）當t=時，使得PA∥平面MQB，
連AC交BQ于N，交BD于O，
則O為BD的中點，又∵BQ為△ABD邊AD上中線，
∴N為正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的邊長為a，則AN=a，AC=a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
即：PM=PC，t=．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．