Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，且a₁=2，a_n+1=S_n+2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+2，∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+2
兩式相減可得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，∴a_n+1=2a_n（n≥2）
∵a₁=2，∴a₂=S₁+2=4，∴n≥2時(shí)，a_n=4•2^n-2=2ⁿ，
∵a₁=2，也符合上式，∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）=，
∴T_n=1×+2×+…+①
∴T_n=1×+…++②
①-②：T_n=++…+-=1--
∴T_n=2-．
分析：（Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，正確運(yùn)用求和公式是關(guān)鍵．