Question

如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA=

2

3

，求△ACF的面積．

Answer 1

分析：（1）利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，可判斷△DOB是直角三角形，則∠OBD=90°，BD是⊙O的切線；
（2）同弧所對的圓周角相等，可證明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．

解答：證明：（1）連接BO，
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB（2分）
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∵OB是⊙O的半徑
∴BD是⊙O的切線；（3分）

解：（2）∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直徑
∴∠ABC=90°
在Rt△BFA中，cos∠BFA=

BF

AF

=

2

3

∴

S△BEF

S△ACF

=(

BF

AF

)2=

4

9

又∵S_△BEF=8
∴S_△ACF=18．

點評：本題綜合考查了圓的切線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等內(nèi)容，是一個綜合較強的題目，難度較大．