Question

設(shè)f（x）是定 義在R上的一個(gè)給定的函數(shù)，函數(shù)（x≠0，1）
（1）當(dāng)f（x）=1時(shí)，求g（x）；　
（2）當(dāng) f（x）=x時(shí)，求g（x）．

Answer 1

解：（1）當(dāng)f（x）=1時(shí)，g（x）=（1-x）ⁿ+（1-x）^n-1•x+…+（1-x）⁰•xⁿ
=[（1-x）+x]ⁿ
=1；
（2）∵f（x）=x時(shí)，g（x）的通項(xiàng)中的二項(xiàng)式系數(shù)為：•=•=，
∴g（x）=•（1-x）^n-1•x+•（1-x）^n-2•x•x+•（1-x）^n-3•x²•x+…+•（1-x）^{（n-1）-（r-1）}•x^r-1•x+…+•（1-x）⁰•x^n-1•x
=x[•（1-x）^n-1+•（1-x）^n-2•x+•（1-x）^n-3•x²+…+•（1-x）^{（n-1）-（r-1）}•x^r-1+…+•（1-x）⁰•x^n-1]
=x[（1-x）+x]^n-1
=x．
分析：（1）當(dāng)f（x）=1時(shí)，g（x）=（1-x）ⁿ+（1-x）^n-1•x+…+（1-x）⁰•xⁿ=[（1-x）+x]ⁿ，從而可得答案；
（2）當(dāng) f（x）=x時(shí)，g（x）的通項(xiàng)中的二項(xiàng)式系數(shù)可化為：•=，逆用二項(xiàng)式定理即可得到g（x）的表達(dá)式．
點(diǎn)評(píng)：本題考察二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，逆用二項(xiàng)式定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，求得•=是基礎(chǔ)，考察學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合素質(zhì)，屬于難題．