Question

17．如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）≤f（x₂），且存在兩個(gè)不相等的自變量值y₁，y₂，使得f（y₁）=f（y₂），就稱f（x）為定義域上的不嚴(yán)格的增函數(shù)．
則 ①$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，x≥1\\ 0，-1＜x＜1\\ x，x≤-1\end{array}\right.$，②$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，\;x=-\frac{π}{2}\\ sinx，-\frac{π}{2}＜x≤\frac{π}{2}\end{array}\right.$，
③$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x≥1\\ 0，-1＜x＜1\\-1，x≤-1\end{array}\right.$，④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，\;x≥1\\ x+1，x＜1\end{array}\right.$，
四個(gè)函數(shù)中為不嚴(yán)格增函數(shù)的是①③，若已知函數(shù)g（x）的定義域、值域分別為A、B，A={1，2，3}，B⊆A，且g（x）為定義域A上的不嚴(yán)格的增函數(shù)，那么這樣的g（x）有9個(gè)．

Answer 1

分析 由已知中不嚴(yán)格的增函數(shù)的定義，逐一分析給定的四個(gè)函數(shù)，是否滿足定義，可得結(jié)論；再根據(jù)不嚴(yán)格的增函數(shù)的定義，逐一列舉出滿足條件的函數(shù)g（x），可得答案．

解答 解：由已知中：函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）≤f（x₂），
且存在兩個(gè)不相等的自變量值y₁，y₂，使得f（y₁）=f（y₂），
就稱f（x）為定義域上的不嚴(yán)格的增函數(shù)．
①$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，x≥1\\ 0，-1＜x＜1\\ x，x≤-1\end{array}\right.$，滿足條件，為定義在R上的不嚴(yán)格的增函數(shù)；
②$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，\;x=-\frac{π}{2}\\ sinx，-\frac{π}{2}＜x≤\frac{π}{2}\end{array}\right.$，當(dāng)x₁=-$\frac{π}{2}$，x₂∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），f（x₁）＞f（x₂），故不是不嚴(yán)格的增函數(shù)；
③$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x≥1\\ 0，-1＜x＜1\\-1，x≤-1\end{array}\right.$，滿足條件，為定義在R上的不嚴(yán)格的增函數(shù)；
④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，\;x≥1\\ x+1，x＜1\end{array}\right.$，當(dāng)x₁=$\frac{1}{2}$，x₂∈（1，$\frac{3}{2}$），f（x₁）＞f（x₂），故不是不嚴(yán)格的增函數(shù)；
故已知的四個(gè)函數(shù)中為不嚴(yán)格增函數(shù)的是①③；
∵函數(shù)g（x）的定義域、值域分別為A、B，A={1，2，3}，B⊆A，且g（x）為定義域A上的不嚴(yán)格的增函數(shù)，
則滿足條件的函數(shù)g（x）有：
g（1）=g（2）=g（3）=1，
g（1）=g（2）=g（3）=2，
g（1）=g（2）=g（3）=3，
g（1）=g（2）=1，g（3）=2，
g（1）=g（2）=1，g（3）=3，
g（1）=g（2）=2，g（3）=3，
g（1）=1，g（2）=g（3）=2，
g（1）=1，g（2）=g（3）=3，
g（1）=2，g（2）=g（3）=3，
故這樣的函數(shù)共有9個(gè)，
故答案為：①③；9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，求解本題的關(guān)鍵是正確理解所給的定義，結(jié)合函數(shù)定義中對(duì)應(yīng)的思想，對(duì)可能的函數(shù)進(jìn)行列舉，得出可能函數(shù)的種數(shù)，本題比較抽象，解題時(shí)要注意對(duì)其情況分類討論，不重不漏，本題易因?yàn)榉诸惒磺�，或者考慮情況不嚴(yán)密出錯(cuò)，屬于基礎(chǔ)題．