已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1處有極值,f(x)在x=2處的切線l不過(guò)第四象限且傾斜角為
π
4
,坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為
2
2

(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,
3
2
]
上的最大值和最小值.
分析:(Ⅰ)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再根據(jù)在x=1處有極值得到f'(1)=0,而f(x)在x=2處的切線l的傾斜角為
π
4
得到f'(2)=1,建立兩個(gè)等式關(guān)系解之即可;
(Ⅱ)先求出x∈[-1,
3
2
]
上的極值,將f(x)的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較,其中最大的一個(gè)就是最大值,最小的一個(gè)就是最小值.
解答:解:(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b.
∵x=1時(shí)f(x)有極值,∴f′(1)=3+2a+b=0.①
∵f(x)在x=2處的切線l的傾斜角為
π
4

f′(2)=12+4a+b=tan
π
4
=1.

由①②可解得a=-4,b=5.(4分)
設(shè)切線l的方程為y=x+m,由坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)到切線l的距離為
2
2
,可得m=±1,
又切線不過(guò)第四象限,所以m=1,切線方程為y=x+1.(6分)
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),∴f(2)=8-16+10+c=3,所以c=1.
故a=-4,b=5,c=1.(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x3-4x2+5x+1,f′(x)=3x2-8x+5=(x-1)(3x-5).
x∈[-1,
3
2
]
,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上遞增,在(1,
3
2
]
上遞減,(9分)
f(-1)=-9,f(1)=3,f(
3
2
)=
23
8
,(12分)
∴f(x)在區(qū)間[-1,
3
2
]
上的最大值為3,最小值為-9.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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