Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）利用和差角（輔助角）公式，將函數(shù)化為正弦型函數(shù)的形式，再由誘導(dǎo)公式可得f（x）=2cos2x，將x=$\frac{π}{6}$代入可得答案；
（Ⅱ）由 （I）得：f（x）=2cos2x，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{3}$）=2sin[（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
∴f（$\frac{π}{6}$）=2cos（2×$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{π}{3}$=1；
（Ⅱ）由 （I）得：f（x）=2cos2x，
∵ω=2，
∴周期T=π，
由2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z得：kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤kπ，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ]，k∈Z

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)求值，余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．