Question

已知向量

a

=（cosωx，sinωx），

b

=（cosωx，

3

cosωx），ω＞0，函數(shù)f(x)=

a

•

b

-

1

2

，其最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為其面積，若f(

A

2

)=1，b=1，S_△ABC=

3

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，整理即可表示出f（x）解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出f（x）的遞增區(qū)間即可；
（2）由f（

A

2

）=1以及（1）確定出的解析式，求出A的度數(shù)，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把b，sinA，以及已知面積代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosωx，sinωx），

b

=（cosωx，

3

cosωx），ω＞0，
∴函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

=cos²ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

=

1

2

（1+cos2ωx）+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin（2ωx+

π

6

），
∵T=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
則f（x）的增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
（2）由f（

A

2

）=sin（A+

π

6

）=1，得到A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，b=1，
∴c=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+16-4=13，
則a=

13

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．