Question

設(shè)函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)定義域?yàn)锳．
（1）若A=R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若log2(ax2-2x+2)＞2在x∈[1，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳=R，所以ax²-2x+2＞0在x∈R上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析二次不等式恒成立時(shí)，a的取值范圍，可得答案．
（2）若log2(ax2-2x+2)＞2在x∈[1，2]上恒成立，所以a＞

2x+2

x2

=2(

1

x

+

1

x2

)在x∈[1，2]上恒成立，求出不等式右側(cè)的最大值，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)锳=R，所以ax²-2x+2＞0在x∈R上恒成立．
①當(dāng)a=0時(shí)，由-2x+2＞0，得x＜1，不成立，舍去，
②當(dāng)a≠0時(shí)，由

a＞0 △x=4-8a＜0

，得a＞

1

2

，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞

1

2

．
（2）依題有ax²-2x+2＞4在x∈[1，2]上恒成立，
所以a＞

2x+2

x2

=2(

1

x

+

1

x2

)在x∈[1，2]上恒成立，
令t=

1

x

，則由x∈[1，2]，得t∈[

1

2

，1]，
記g（t）=t²+t，由于g（t）=t²+t在t∈[

1

2

，1]上單調(diào)遞增，
所以g（t）≤g（1）=2，
因此a＞4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題，其中熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域是解答本題的關(guān)鍵．