已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,面積為S,且滿足:S•(tan
C
2
+cot
C
2
)=18.
(1)求ab的值;
(2)若c=3
2
,試確定∠C的范圍.
考點(diǎn):余弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用
專題:解三角形
分析:(1)化簡tan
C
2
+cot
C
2
 為
2
sinC
,再由S•(tan
C
2
+cot
C
2
)=
1
2
absinC•
2
sinC
=18,求得 ab的值.
(2)根據(jù)cosC=
a2+b2-c2
2ab
2ab-c2
2ab
,可得cosC≥
1
2
,從而求得∠C的取值范圍.
解答: 解:(1)∵tan
C
2
+cot
C
2
=
1-cosC
sinC
+
1+cosC
sinC
=
2
sinC
,
S•(tan
C
2
+cot
C
2
)=
1
2
absinC•
2
sinC
=18,
∴ab=18.
(2)∵c=3
2
,cosC=
a2+b2-c2
2ab
2ab-c2
2ab
=
36-18
36
=
1
2
,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3
2
時(shí),取等號,
即cosC≥
1
2

再根據(jù)∠C是三角形的一個(gè)內(nèi)角,可得∠C的取值范圍為(0°,60°].
點(diǎn)評:本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、半角公式、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=x+
b
x
  (b∈R)
的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn),則f(x)在下列區(qū)間單調(diào)遞增的是(  )
A、(-2,0)
B、(0,1)
C、(1,+∞)
D、(-∞,-2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,P是平面ABCD外一點(diǎn),P在平面ABCD的射影O恰在AD上,PA=AB=BC=2AO=2,BO=
3

(1)證明:PA⊥BO;
(2)求二面角A-BP-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+a•2x
2x+1
 是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并給出證明過程;
(3)若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,-
1
3
)
,這對任意x∈R不等式f(x2-2mx+m+1)≤
1
3
恒成立,求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,已知|BC|=2,且
|AB|
|AC|
=
2
,求點(diǎn)A的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=
6
,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:直線AD∥平面PBC;
(Ⅱ) 求直線AD與平面PBC的距離;
(Ⅲ)若AD=3,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形A1ABB1為菱形,∠A1AB=45°,四邊形BCC1B1為矩形,若AC=5,AB=4,BC=3
(1)求證:AB1⊥面A1BC;
(2)求二面角C-AA1-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
mx2+8x+n
x2+1
定義域?yàn)椋?∞,+∞),值域?yàn)閇1,9],求m,n.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠ABC=60°,AB=2CB=2.在梯形ACEF中,EF∥AC,且AC=2EF,EC⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證:BC⊥AF;
(Ⅱ)若二面角D-AF-C為45°,求CE的長.

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