已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，且滿足：S•（tan
C
2
+cot
C
2
）=18．
（1）求ab的值；
（2）若c=3
2
，試確定∠C的范圍．
考點：余弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用
專題：解三角形
分析：（1）化簡tan
C
2
+cot
C
2
 為
2
sinC
，再由S•（tan
C
2
+cot
C
2
）=
1
2
absinC•
2
sinC
=18，求得 ab的值．
（2）根據(jù)cosC=
a2+b2-c2
2ab
≥
2ab-c2
2ab
，可得cosC≥
1
2
，從而求得∠C的取值范圍．
解答： 解：（1）∵tan
C
2
+cot
C
2
=
1-cosC
sinC
+
1+cosC
sinC
=
2
sinC
，
S•（tan
C
2
+cot
C
2
）=
1
2
absinC•
2
sinC
=18，
∴ab=18．
（2）∵c=3
2
，cosC=
a2+b2-c2
2ab
≥
2ab-c2
2ab
=
36-18
36
=
1
2
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3
2
時，取等號，
即cosC≥
1
2
．
再根據(jù)∠C是三角形的一個內(nèi)角，可得∠C的取值范圍為（0°，60°]．
點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、半角公式、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=x+
b
x
  (b∈R)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（1，2）上有零點，則f（x）在下列區(qū)間單調(diào)遞增的是（　　）
A、（-2，0）
B、（0，1）
C、（1，+∞）
D、（-∞，-2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P是平面ABCD外一點，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，PA=AB=BC=2AO=2，BO=
3
．
（1）證明：PA⊥BO；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1+a•2x
2x+1
 是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并給出證明過程；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(-1，-
1
3
)，這對任意x∈R不等式f（x2-2mx+m+1）≤
1
3
恒成立，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知|BC|=2，且
|AB|
|AC|
=
2
，求點A的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=
6
，點E是棱PB的中點．
（Ⅰ）求證：直線AD∥平面PBC；
（Ⅱ） 求直線AD與平面PBC的距離；
（Ⅲ）若AD=3，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1為菱形，∠A1AB=45°，四邊形BCC1B1為矩形，若AC=5，AB=4，BC=3
（1）求證：AB1⊥面A1BC；
（2）求二面角C-AA1-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=
mx2+8x+n
x2+1
定義域為（-∞，+∞），值域為[1，9]，求m，n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：BC⊥AF；
（Ⅱ）若二面角D-AF-C為45°，求CE的長．

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