【題目】數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=an2+6an+6(n∈N×
(1)設(shè)Cn=log5(an+3),求證{Cn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)bn= ,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 求證:﹣ ≤Tn<﹣

【答案】
(1)解:由an+1=an2+6an+6得an+1+3=(an+3)2

=2 ,即cn+1=2cn

∴{cn}是以2為公比的等比數(shù)列.


(2)解:又c1=log55=1,

∴cn=2n1,即 =2n1

∴an+3=

故an= ﹣3


(3)解:∵bn= = ,∴Tn= =﹣

又0< =

∴﹣ ≤Tn<﹣


【解析】(1)由已知可得,an+1+3=(an+3)2 , 利用構(gòu)造法令Cn=log5(an+3),則可得 ,從而可證數(shù)列{cn}為等比數(shù)列;(2)由(1)可先求數(shù)列cn , 代入cn=log5(an+3)可求an;(3)把(2)中的結(jié)果代入整理可得, ,則代入Tn=b1+b2+…+bn相消可證
【考點精析】關(guān)于本題考查的等比關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項和,需要了解等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷;數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能得出正確答案.

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,

求證:數(shù)列是等差數(shù)列.

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