Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大面積是．

（1）求橢圓的方程；

（2）圓E經(jīng)過橢圓的左、右焦點(diǎn)，且與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且三點(diǎn)共線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，且．

（i） 求直線的斜率；

（ii）當(dāng)的面積取到最大值時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）．

【解析】

（1）根據(jù)離心率建立等式，結(jié)合的最大面積是可求橢圓的方程；

（2）（i）利用圓的對稱性可得圓心為軸上一點(diǎn)，結(jié)合，，三點(diǎn)共線可以表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程可求點(diǎn)，進(jìn)而可得直線的斜率；

（ii）設(shè)出直線的方程，求出弦長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，結(jié)合面積公式及二次函數(shù)知識可求直線的方程．

（1）∵離心率，，

∴，，

面積的最大值為：，

∴，；

∴橢圓方程為．

（2）（i）∵圓經(jīng)過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，

∴圓心為軸上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，

∵圓與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，∴，

∵，，三點(diǎn)共線，且是圓的一條直徑，

∴，

將點(diǎn)代入橢圓方程得到，即，

∴直線的斜率為．

（ii）∵，∴直線的斜率也為，設(shè)直線，，

聯(lián)立，得，

，∴，

，，

，

點(diǎn)到直線：的距離，

∴．

∴當(dāng)，即時(shí)的面積最大，此時(shí)直線的方程為：．