Question

如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E為D1C1的中點(diǎn)，連結(jié)ED，EC，EB和DB．

(1)求證：ED⊥平面EBC；

(2)求三棱錐E－DBC的體積.

 

Answer 1

(1)見解析；（2）

【解析】

試題分析：

(1)易得△DD1E為等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．

（2）需要做輔助線，取CD中點(diǎn)M，連接EM∥，DCB （這個(gè)證明很關(guān)鍵），然后根據(jù)公式.

試題解析：

(1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E為D1C1的中點(diǎn)．

∴△DD1E為等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．

∴，即DE⊥EC．

在長方體ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，

∴BC⊥DE．又，

∴DE⊥平面EBC．又

∴平面DEB⊥平面EBC．

（2）取CD中點(diǎn)M，連接EM，

E為D1C1的中點(diǎn)，

∥，且,

又DCB

.

考點(diǎn)：線面垂直，三棱錐的體積.