Question

（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，判斷曲線C：（θ為參數(shù)）與直線l：（t為參數(shù)）是否有公共點(diǎn)，并證明你的結(jié)論．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：．

Answer 1

（1）解：直線l的普通方程為x+2y-3=0． …（3分）
曲線C的普通方程為x²+4y²=4． …（3分）
由方程組得8y²-12y+5=0
因?yàn)椤?-16＜0，所以曲線C與直線l沒有公共點(diǎn)． …（4分）
（2）證法一：因?yàn)閍＞0，b＞0，a+b=1，
所以（）[（2a+1）+（2b+1）]
=1+4+ …（5分）
≥5+2=9． …（3分）
而（2a+1）+（2b+1）=4，所以．　…（2分）
證法二：因?yàn)閍＞0，b＞0，由柯西不等式得
（）[（2a+1）+（2b+1）]…（5分）
≥（）²=（1+2）²=9． …（3分）
由a+b=1，得 （2a+1）+（2b+1）=4，
所以．　 …（2分）
分析：（1）將參數(shù)方程化為普通方程，再將直線方程代入橢圓方程，利用方程的判別式，可得結(jié)論；
（2）證法一：因?yàn)閍＞0，b＞0，a+b=1，所以（）[（2a+1）+（2b+1）]，再利用基本不等式，可得結(jié)論；
證法二：因?yàn)閍＞0，b＞0，（）[（2a+1）+（2b+1）]，由柯西不等式可證結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查參數(shù)方程，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是化參數(shù)方程為普通方程，正確運(yùn)用基本不等式與柯西不等式，屬于中檔題．