Question

為抗擊金融風暴，某工貿(mào)系統(tǒng)決定對所屬企業(yè)給予低息貸款的扶持.該系統(tǒng)先根據(jù)相關(guān)評分標準對各個企業(yè)進行了評估，并依據(jù)評估得分將這些企業(yè)分別評定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格4個等級，然后根據(jù)評估等級分配相應的低息貸款金額，其評估標準和貸款金額如下表：

評估得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90]
評定類型	不合格	合格	良好	優(yōu)秀
貸款金額（萬元）	0	200	400	800

為了更好地掌控貸款總額，該系統(tǒng)隨機抽查了所屬部分企業(yè)的評估分數(shù)，得其頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）估計該系統(tǒng)所屬企業(yè)評估得分的中位數(shù)；

（Ⅱ）該系統(tǒng)要求各企業(yè)對照評分標準進行整改，若整改后優(yōu)秀企業(yè)數(shù)量不變，不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量依次成等差數(shù)列，系統(tǒng)所屬企業(yè)獲得貸款的均值(即數(shù)學期望)不低于410萬元，那么整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)的百分比的最大值是多少？

Answer 1

（Ⅰ）68.75

（Ⅱ）10%

解析:

（Ⅰ）因為，，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的面積相等，所以中位數(shù)在區(qū)間[60，70）內(nèi)。                                （2分）

設(shè)中位數(shù)為x，則，解得x＝8.75。                              （4分）

估計該系統(tǒng)所屬企業(yè)評估得分的中位數(shù)是68.75。                                （5分）

（Ⅱ）據(jù)題意，整改后優(yōu)秀企業(yè)的頻率為10×0.025＝0.25，不合格企業(yè)，合格企業(yè)，良好企業(yè)的頻率成等差數(shù)列。                                                           （6分）

設(shè)該等差數(shù)列的首項為a，公差為d，則3a＋3d＝1－0.25＝0.75，即a＋d＝0.25。    （8分）

設(shè)該系統(tǒng)所屬企業(yè)獲得貸款的均值為Eξ，則

Eξ＝a×0＋(a＋d)×200＋(a＋2d)×400＋0.25×800

＝0.25×200＋(0.25＋d)×400＋0.25×800＝400d＋350＝450－400a。            （10分）

由Eξ≥410，得450－400a≥410，即a≤0.1。                                 （11分）

故整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)的百分比的最大值是10%。                      （12分）