Question

5．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦距為10，點P（2，1）在它的一條漸近線上．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）求以雙曲線的右準線為準線的拋物線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，c=5，$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，求出a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，可得雙曲線的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）雙曲線的右準線為x=$\frac{20}{5}$=4，即可求出以雙曲線的右準線為準線的拋物線的標準方程．

解答 解：（1）由題意，c=5，$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
∴雙曲線的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）雙曲線的右準線為x=$\frac{20}{5}$=4，
∴以雙曲線的右準線為準線的拋物線的標準方程y²=-16x．

點評 本題考查雙曲線、拋物線的方程與性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題．