Question

7．艾薩克•牛頓（1643年1月4日-1727年3月31日）英國皇家學會會長，英國著名物理學家，同時在數學上也有許多杰出貢獻，牛頓用“作切線”的方法求函數f（x）零點時給出一個數列{x_n}：滿足${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$，我們把該數列稱為牛頓數列．如果函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有兩個零點1，2，數列{x_n}為牛頓數列，設${a_n}=ln\frac{{{x_n}-2}}{{{x_n}-1}}$，已知a₁=2，x_n＞2，則{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ．

Answer 1

分析 由已知得到a，b，c的關系，可得f（x）=ax²-3ax+2a，求導后代入${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$，整理可得$\frac{{x}_{n+1}-2}{{x}_{n+1}-1}=（\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}）^{2}$，兩邊取對數，可得$ln\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$是以2為公比的等比數列，再由等比數列的通項公式求導答案．

解答 解：∵函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有兩個零點1，2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2a}\\{b=-3a}\end{array}\right.$．
∴f（x）=ax²-3ax+2a．
則f′（x）=2ax-3a．
則${x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{a{{x}_{n}}^{2}-3a{x}_{n}+2a}{2a{x}_{n}-3a}$=${x}_{n}-\frac{{{x}_{n}}^{2}-3{x}_{n}+2}{2{x}_{n}-3}$=$\frac{{{x}_{n}}^{2}-2}{2{x}_{n}-3}$，
∴$\frac{{x}_{n+1}-2}{{x}_{n+1}-1}=（\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}）^{2}$，
則$ln\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$是以2為公比的等比數列，
∵${a_n}=ln\frac{{{x_n}-2}}{{{x_n}-1}}$，且a₁=2，
∴數列{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數列，
則${a}_{n}=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，
故答案為：2ⁿ．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，屬中檔題．