Question

已知函數(shù)．
（1）當且，時，試用含的式子表示，并討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）若有零點，，且對函數(shù)定義域內(nèi)一切滿足的實數(shù)有．
①求的表達式；
②當時，求函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點坐標．

Answer 1

（1）時，的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)減區(qū)間是；時，的單調(diào)增區(qū)間，，單調(diào)減區(qū)間為；
（2）①；②.

試題分析：（1）先求出導函數(shù)，進而由，于是，針對分、兩種情況，分別求出、的解即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①先由條件得到的一個不等關系式，再由有零點，且對函數(shù)定義域內(nèi)一切滿足的實數(shù)有，作出判斷的零點在內(nèi)，設，則可得條件即，結(jié)合即可確定的取值，進而可寫出的解析式；②設，先通過函數(shù)的導數(shù)確定函數(shù)在的單調(diào)性，進而求出在的零點，進而即可求出與的圖像在區(qū)間上的交點坐標.
（1）          2分
由，故
時，由得的單調(diào)增區(qū)間是，
由得單調(diào)減區(qū)間是
同理時，的單調(diào)增區(qū)間，，單調(diào)減區(qū)間為    5分
（2）①由（1）及（i）
又由有知的零點在內(nèi)，設，
則即
所以由條件
此時有      8分
∴     9分
②又設，先求與軸在的交點
∵，由得
故，在單調(diào)遞增
又，故與軸有唯一交點
即與的圖象在區(qū)間上的唯一交點坐標為為所求    13分.