Question

已知雙曲線C與橢圓x²+5y²=5有共同的焦點(diǎn)，且一條漸近線方程為y=

3

x
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過焦點(diǎn)F₁作實(shí)軸的垂線與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）由橢圓x²+5y²=5化為

x2

5

+y2=1，可得c=

5-1

=2．設(shè)雙曲線為

x2

a2

-

y2

b2

=1，則漸近線為y=±

b

a

x，可得

b a = 3 a2+b2=4

解得即可；
（2）F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．可設(shè)A（-2，y₁），B（-2，y₂），（y₁＞y₂），代入雙曲線方程(-2)2-

y 2 1

3

=1，解得y₁，同理解得y₂，可得|AB|=y₁-y₂．
又|F₁F₂|=2c=4．利用S△ABF2=

1

2

|AB|•|F1F2|即可得出．

解答：解：（1）由橢圓x²+5y²=5化為

x2

5

+y2=1，∴c=

5-1

=2，其焦點(diǎn)為（±2，0）．
設(shè)雙曲線為

x2

a2

-

y2

b2

=1，則漸近線為y=±

b

a

x，
∴

b a = 3 a2+b2=4

解得a²=1，b²=3，
∴雙曲線為x2-

y2

3

=1．
（2）∵F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
∴可設(shè)A（-2，y₁），B（-2，y₂），（y₁＞y₂），代入雙曲線方程(-2)2-

y 2 1

3

=1，解得y₁=3，同理解得y₂=-3，∴|AB|=y₁-y₂=6．
又|F₁F₂|=2c=4．
∴S△ABF2=

1

2

|AB|•|F1F2|=

1

2

×6×4=12．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、三角形的面積計(jì)算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．