Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)＜e(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因?yàn)閒（x）在x=0時(shí)取得極值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；
（Ⅱ）分三種情況：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函數(shù)的遞增區(qū)間；令f′（x）＜0得到函數(shù)的遞減區(qū)間即可；（Ⅲ）由（2）知當(dāng)a=-1時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，所以得到ln（1+x²）＜x，利用這個(gè)結(jié)論根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)不等式的左邊得證即可．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

2x

1+x2

+a，因?yàn)閤=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f'（0）=0，∴a=0驗(yàn)證知a=0符合條件．------------2分
（Ⅱ）因?yàn)?span id="zvfdhft" class="MathJye">f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

1）若a=0時(shí)，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；
2）若

a＜0 △≤0

得，當(dāng)a≤-1時(shí)，f′(x)≤0對(duì)x∈R恒成立，∴f（x）在R上單調(diào)遞減；
3）若-1＜a＜0時(shí)，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

∴f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調(diào)遞增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調(diào)遞減；
綜上所述，若a≤-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，
若-1＜a＜0時(shí)，f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調(diào)遞增，(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調(diào)遞減
若a=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減．---------8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）＜f（0）=0∴l(xiāng)n（1+x²）＜x
∴ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)＜

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=(1-

1

2n

)＜1
∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)…(1+

1

22n

)＜e---------------------13分

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會(huì)利用單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算證明不等式．會(huì)求等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和．以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力．