Question

 設滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為n（n=2,3,4,…,）階“期待數(shù)列”：

① ；

_② .

（Ⅰ）分別寫出一個單調遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；

（Ⅱ）若某2k+1()階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）記n階“期待數(shù)列”的前k項和為，

試證：（1）；     （2）

Answer 1

解：（Ⅰ）數(shù)列為三階期待數(shù)列…

數(shù)列為四階期待數(shù)列,…

（Ⅱ）設等差數(shù)列的公差為，

，

 所以，

即，   

當d=0時,與期待數(shù)列的條件①②矛盾，

當d>0時,據(jù)期待數(shù)列的條件①②得：

 

由得，

…

當d<0時，

同理可得

由得，

（Ⅲ）（1）當k=n時，顯然成立；

當k<n時，據(jù)條件①得

，

即，

,

…