Question

8．某公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB的長為2百米，BC的長為1百米．
（1）若準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（1），使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF內(nèi)喂食，求當(dāng)△DEF的面積取最大值時EF的長；
（2）若準(zhǔn)備建造一個荷塘，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，記∠FEC=α，求△DEF邊長的最小值及此時α的值．（精確到1米和0.1度）

Answer 1

分析 （1）設(shè)EF=x，則可求CE，BE，DE，求得S_△DEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x（1-$\frac{x}{2}$），x∈（0，2），由基本不等式可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{x}{2}$（1-$\frac{x}{2}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$$•\frac{1}{4}$（$\frac{x}{2}+1-\frac{x}{2}$）²當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，從而可求當(dāng)△DEF的面積取最大值時EF的長；
（2）設(shè)等邊三角形邊長為EF=ED=DF=y，在△EBD中，由正弦定理及三角函數(shù)的性質(zhì)可得y=$\frac{\sqrt{3}}{2sinα+\sqrt{3}cosα}$≥$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$≈0.65，即可求得△DEF邊長的最小值及此時α的值．

解答 （本題滿分14分）本題共2小題，第（1）小題（6分），第（2）小題（8分）．
解：（1）設(shè)EF=x，則CE=$\frac{x}{2}$，故BE=1-$\frac{x}{2}$，所以DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-$\frac{x}{2}$），…（2分）
S_△DEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x（1-$\frac{x}{2}$），x∈（0，2），…（4分）
因?yàn)镾_△DEF=$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{x}{2}$（1-$\frac{x}{2}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$$•\frac{1}{4}$（$\frac{x}{2}+1-\frac{x}{2}$）²當(dāng)且僅當(dāng)x=1（即EF長100米）時等號成立，
即（S_△DEF）_max=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．…（6分）
（2）設(shè)等邊三角形邊長為EF=ED=DF=y，
在△EBD中，∠B=60°，∠EDB=α，…（8分）
由題意可知CE=ycosα，…（9分）
則EB=1-ycosα，所以$\frac{y}{sin60°}=\frac{1-ycosα}{sinα}$，…（11分）
即y=$\frac{\sqrt{3}}{2sinα+\sqrt{3}cosα}$≥$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$≈0.65，即△DEF邊長的最小值是65米，…（13分）
此時tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，φ≈40.9°，α≈49.1°…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及基本不等式的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．