（2012•江蘇二模）在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面A1B1C1D1，D1P⊥平面PCE．
試求：
（1）線段D1P的長；
（2）直線DE與平面PCE所成角的正弦值．
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用D1P⊥平面PCE，確定P的坐標(biāo)，從而可求線段D1P的長；
（2）由（1）知，
DE
=(2，1，0)，
D1P
=(
4
5
，
8
5
，0)，
D1P
⊥平面平面PCE，利用向量的夾角公式可求直線DE與平面PEC所成角的正弦值為
4
5
．
解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D1（0，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0）．

設(shè)P（x，y，2），則
D1P
=(x，y，0)，
EP
=(x-2，y-1，2)，
EC
=(-2，1，0)
因?yàn)镈1P⊥平面PCE，所以D1P⊥EP，D1P⊥EC，
所以
x(x-2)+y(y-1)=0
-2x+y=0
，解得
x=0
y=0
（舍去）或
x=
4
5
y=
8
5
 …（4分）
即P（
4
5
，
8
5
，2），所以
D1P
=(
4
5
，
8
5
，0)，所以D1P=
16
25
+
64
25
=
4
5
5
．…（6分）
（2）由（1）知，
DE
=(2，1，0)，
D1P
=(
4
5
，
8
5
，0)，
D1P
⊥平面平面PCE，
設(shè)DE與平面PEC所成角為θ，
D1P
與
DE
所成角為α，則sinθ=|cosα|=|
D1P
•
DE
|D1P||DE|
|=
16
5
5
•
80
25
=
4
5

所以直線DE與平面PEC所成角的正弦值為
4
5
． …（10分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量表示直線與平面所成角，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將空間點(diǎn)，線，面之間的關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解答此類問題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列命題：
（1）若α∥β，m?β，n?α，則m∥n；
（2）若α∥β，m⊥β，n∥α，則m⊥n；
（3）若α⊥β，m⊥α，n∥β，則m∥n；
（4）若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n．
上面命題中，所有真命題的序號為
（2），（4）
（2），（4）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知A、B是函數(shù)y=3sin（2x+θ）的圖象與x軸兩相鄰交點(diǎn)，C是圖象上A，B之間的最低點(diǎn)，則
AB
•
AC
=
π2
8
π2
8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，在C城周邊已有兩條公路l1，l2在點(diǎn)O處交匯，現(xiàn)規(guī)劃在公路l1，l2上分別選擇A，B兩處為交匯點(diǎn)（異于點(diǎn)O）直接修建一條公路通過C城，已知OC=(
2
+
6
)km，∠AOB=75°，∠AOC=45°，設(shè)OA=xkm，OB=ykm．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并指出它的定義域；
（2）試確定點(diǎn)A、B的位置，使△OAB的面積最�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）設(shè)實(shí)數(shù)n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0對任意x∈[-4，2]都成立，則
m4-n4
m3n
的最小值為
-
80
3
-
80
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）已知雙曲線
x2
m
-
y2
3
=1(m＞0)的一條漸近線方程為y=
3
2
x，則m的值為
4
4
．

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