【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx+ax,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若對x>1,f(x)>(b+a﹣1)x﹣b恒成立,求整數(shù)b的最大值.

【答案】
(1)解:a=1時,f(x)=xlnx+x(x>0).f(1)=1.

f′(x)=lnx+2,f′(1)=2.

∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為:y﹣1=2(x﹣1),

化為:2x﹣y﹣1=0.


(2)解:對x>1,f(x)>(b+a﹣1)x﹣b恒成立,b<

令g(x)= ,則g′(x)= =

令h(x)=x﹣lnx﹣2,x>1.

h′(x)=1﹣ >0,可知:函數(shù)h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

∴h(x)>h(1)=﹣1,

因此函數(shù)h(x)存在唯一零點x0∈(3,4),x0﹣lnx0﹣2=0.

使得g(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.

∴x=x0時,函數(shù)g(x)取得極小值即最小值,

∴b< = =x0

因此整數(shù)b的最大值為3


【解析】(1)a=1時,f(x)=xlnx+x(x>0).f(1)=1.f′(x)=lnx+2,f′(1)=2.利用點斜式即可得出.(2)對x>1,f(x)>(b+a﹣1)x﹣b恒成立,b< .令g(x)= ,則g′(x)= = .令h(x)=x﹣lnx﹣2,x>1.L利用導(dǎo)數(shù)可知:函數(shù)h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.h(x)>h(1)=﹣1,因此函數(shù)h(x)存在唯一零點x0∈(3,4),x0﹣lnx0﹣2=0.可得x=x0時,函數(shù)g(x)取得極小值即最小值,代入可得b<x0.即可得出.

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