Question

求在(

x

-

1

2• 3 x

)10的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項、系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析：根據(jù)最大的系數(shù)絕對值大于等于其前一個系數(shù)絕對值；同時大于等于其后一個系數(shù)絕對值；列出不等式求出系數(shù)絕對值最大的項；據(jù)系數(shù)正負交替出現(xiàn)，故求系數(shù)最大的項，只需研究奇數(shù)項的系數(shù)即可；據(jù)最大的系數(shù)大于等于其前一個系數(shù)同時大于等于其后一個系數(shù)；列出不等式求出系數(shù)最大的項．

解答：解：（1）設系數(shù)絕對值最大的項是第k+1項，于是

C 20 k •320-k•2k≥ C 20 k+1 •319-k•2k+1 C 20 k •320-k•2k≥ C 20 k-1 •321-k•2k-1

化簡得

3(k+1)≥2(20-k) 2(21-k)≥3k

解得7.25≤k≤8.25．
所以k=8，即T₉=C₂₀⁸3¹²•2⁸•x¹²y⁸是系數(shù)絕對值最大的項．
（2）由于系數(shù)為正的項為奇數(shù)項，故可設第2k-1項系數(shù)最大，于是

C 20 2k-2 •322-2k•22k-2≥ C 20 2k-4 •324-2k•2k-4 C 20 2k-2 •322-2k•22k-2≥ C 20 2k •320-2k•22k

化簡得

10k2•143k-1007≤0 10k2+163k-924≥0

又k為不超過11的正整數(shù)，可得k=5，即第2×5-1=9項系數(shù)最大，T₉=C₂₀⁸3¹²•2⁸•x¹²y⁸．

點評：本題考查二項式系數(shù)的性質：中間項的二項式系數(shù)最大、考查二項展開式的通項公式、考查求系數(shù)最大項的方法．