Question

已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）記銳角△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f（A）=0，b+c=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)=sinxcosx+cos²x-sin²x+sinxcosx
=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．
∵，∴≤2x+≤，∴≤sin（2x+）≤1，
故函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為1．
（2）銳角△ABC中，由f（A）=0 可得 sin（2A+）=0，∴A=．
∵b+c=4≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，故 bc≤4，即 bc的最大值為 4．
故△ABC面積S=bc•sinA=bc≤，故△ABC面積的最大值為 ．
分析：（1）利用兩角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+），由 ，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的最值．
（2）銳角△ABC中，由f（A）=0 可得A=．利用基本不等式求得 bc≤4，即 bc的最大值為4，由此求得△ABC的面積S=bc•sinA 的最大值．
點(diǎn)評：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．