Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為?[-1，5]，部分對應(yīng)值如下表，f（x）的導(dǎo)函數(shù) y?=f′（x）的圖象如圖所示，給出關(guān)于f（x）的下列命題：

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

①函數(shù)y=f（x）在x=2時，取極小值 
②函數(shù)f（x）在[0，1]是減函數(shù)，在[1，2]是增函數(shù)，
③當1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點
④如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為5，
其中所有正確命題序號為

①④

．

Answer 1

分析：先由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系畫出原函數(shù)的大致圖象，再借助與圖象和導(dǎo)函數(shù)的圖象，對五個命題，一一進行驗證，對于假命題采用舉反例的方法進行排除即可得到答案．

解答：解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系得，原函數(shù)的大致圖象可由以下兩種代表形式，如圖：

由圖得：①由圖象可知f′（2）=0，f（x）在x=2處取得極小值，故①正確；
②因為在[0，2]上導(dǎo)函數(shù)為負，故原函數(shù)遞減，故②錯誤；
③當a離1非常接近時，對于上圖，y=f（x）-a的零點，就是y與f（x）=a的交點個數(shù)，如圖有2個零點，也可以是3個零點，故③錯誤．
④當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，如圖可知
當t=5時，也滿足x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，故④正確；
綜上得：真命題只有①④．
故答案為：①④；

點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系．二者之間的關(guān)系是：導(dǎo)函數(shù)為正，原函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負，原函數(shù)遞減．