Question

已知△ABC中，點(diǎn)A（3，0），B（0，3），C（rcosα，rsinα）（r＞0）．
（1）若r=1，且，求sin2a的值；
（2）若r=3，且∠ABC=60°，求AC的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）用向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)求出向量坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式求出數(shù)量積列出方程，求出sinα+cosα平方得到sin2a
（2）據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)得到A，B，C在同一個(gè)圓上，利用圓心角定理求出∠AOC，通過解三角形，求出AC長．
解答：解：（1）r=1時(shí)，=（cosα，sinα）-（3，0）=（cosα-3，sinα），
=（cosα，sinα）-（0，3）=（cosα，sinα-3）．
所以=（cosα-3）cosα+sin（sinα-3）=1-3（cosα+sinα）=-1．從而 sinα+cosα=2/3．
兩邊平方得到：cos²α+sin²α+2sinαcosα=4/9，
利用倍角公式即知：1+sin2α=4/9，所以 sin2α=-5/9．
（2）r=3時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為C（3cosα，3sinα），
即C是半徑為3，圓心為原點(diǎn)的圓上一點(diǎn)．
注意到此時(shí)A，B也都是此圓上的一點(diǎn)，由角ABC=60度 以及 圓心角定理可知：
∠AOC=2∠ABC=120°，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)（亦為此圓圓心）．
所以在三角形AOC中，OA=OC=3，∠AOC=120°，
由此容易算出 AC=2×3sin60°=3．
點(diǎn)評：本題考查向量坐標(biāo)的求法；向量數(shù)量積公式，三角函數(shù)的二倍角公式，圓心角定理及解三角形．