Question

20．傾斜角為45°的直線交雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）于P、Q，且PQ中點為M（1，3），A、F分別為右頂點、右焦點，若|$\overrightarrow{FP}$|•|$\overrightarrow{FQ}$|=17．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）試證：過A、P、Q三點的圓與x軸相切．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線方程y=x+2，代入雙曲線的方程，消去y，得到x的方程，由韋達定理，結(jié)合中點坐標(biāo)公式，可得b²=3a²=c²-a²，即可得到離心率；
（2）求出雙曲線的右準(zhǔn)線方程，由雙曲線的第二定義，可得a=1，再求得交點P，Q的坐標(biāo)，由PQ和AQ的中垂線方程，可得圓心為M，再由直線和圓相切的條件，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)直線方程為y-3=x-1即y=x+2，
代入雙曲線的方程可得，
（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，①
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{4{a}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$=2，x₁x₂=$\frac{-4{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$，
即為b²=3a²=c²-a²，
即有c=2a，即有e=$\frac{c}{a}$=2；
（2）證明：雙曲線的右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{a}{2}$，
若|$\overrightarrow{FP}$|•|$\overrightarrow{FQ}$|=17，
由雙曲線的第二定義可得，e（$\frac{a}{2}$-x₁）•e（x₂-$\frac{a}{2}$）=17，
即為-a²+2a（x₁+x₂）-4x₁x₂=17，
即有5a²+4a-9=0，解得a=1（負的舍去），
則c=2，b=$\sqrt{3}$，
即有①化簡為2x²-4x-7=0，
解得x₁=1-$\frac{3}{\sqrt{2}}$，x₂=1+$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
即有P（1-$\frac{3}{\sqrt{2}}$，3-$\frac{3}{\sqrt{2}}$），Q（1+$\frac{3}{\sqrt{2}}$，3+$\frac{3}{\sqrt{2}}$），
又A（1，0），
PQ的垂直平分線的方程為y=-x+4，②
AQ的中點為（1+$\frac{3}{2\sqrt{2}}$，$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2\sqrt{2}}$），
斜率為-$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=-（$\sqrt{2}$-1），
AQ的垂直平分線方程為y-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2\sqrt{2}}$=（1-$\sqrt{2}$）（x-1-$\frac{3}{2\sqrt{2}}$），③
由②③可得交點坐標(biāo)為（1，3），
即有圓心為M，且AM⊥x軸，
即圓心到x軸的距離為半徑r=3，
故過A、P、Q三點的圓與x軸相切．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和圓相切的條件：d=r，考查聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運用韋達定理，考查運算求解能力，屬于中檔題．