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在如圖所示的平面直角坐標系中，三角形AOB是腰長為2的等腰直角三角形，動點P與點O位于直線AB的兩側，且∠APB=．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）過點P作PH⊥OA交OA于H，求△OHP得周長的最大值及此時P點得坐標．

【答案】分析：（1）在等腰直角三角形AOB中，利用正弦定理求出點P在以AB為弦，半徑為2的圓弧上，點P位于直線AB的兩側，因此點P的軌跡方程是以O為圓心，半徑為2，夾在∠AOB內的圓弧（端點除外），從而求出點P的軌跡方程；
（2）設P（2cosα，2sinα）（α∈（0，））則△OHP的周長l=2+2cosα+2sinα，然后利用輔助角公式進行化簡變形即可求出最大值，以及取最大值時點P的坐標．
解答：解：（1）在等腰直角三角形AOB中，AB=2
因為==4
因此，點P在以AB為弦，半徑為2的圓弧上．
又因OA=OB=2，點P位于直線AB的兩側，因此點P的軌跡方程是以O為圓心，半徑為2，夾在∠AOB內的圓�。ǘ它c除外）
所以點P的軌跡方程為x2+y2=4（x＞0，且y＞0）
（2）設P（2cosα，2sinα）（α∈（0，））則
△OHP的周長l=2+2cosα+2sinα
=2+2sin（α+）
所以，當α=時，△OHP的周長l取最大值2+2，此時P（，）
點評：本題主要考查了直線和圓的方程的應用，以及軌跡方程，同時考查了輔助角公式，同時考查了計算求解的能力，屬于難題．
練習冊系列答案
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精英家教網已知函數f（x）=x2-2|x|-1．
（Ⅰ）證明函數f（x）是偶函數；
（Ⅱ）在如圖所示的平面直角坐標系中作出函數f（x）的圖象．

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精英家教網在如圖所示的平面直角坐標系中，三角形AOB是腰長為2的等腰直角三角形，動點P與點O位于直線AB的兩側，且∠APB=
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π．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）過點P作PH⊥OA交OA于H，求△OHP得周長的最大值及此時P點得坐標．

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已知函數f（x）=x2-2|x|-1．
（1）證明函數f（x）是偶函數；
（2）在如圖所示的平面直角坐標系中作出函數f（x）的圖象．
（3）根據圖象求該函數的單調區(qū)間．

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（2012•鹽城一模）在綜合實踐活動中，因制作一個工藝品的需要，某小組設計了如圖所示的一個門（該圖為軸對稱圖形），其中矩形ABCD的三邊AB、BC、CD由長6分米的材料彎折而成，BC邊的長為2t分米（1≤t≤
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2
）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線C1是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標系中，其解析式為y=cosx-1），此時記門的最高點O到BC邊的距離為h1（t）；曲線C2是一段拋物線，其焦點到準線的距離為
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，此時記門的最高點O到BC邊的距離為h2（t）．
（1）試分別求出函數h1（t）、h2（t）的表達式；
（2）要使得點O到BC邊的距離最大，應選用哪一種曲線？此時，最大值是多少？

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在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點．A（1，0）和點B（-1，0），|
OC
|=1，且∠AOC=x，其中O為坐標原點．
（Ⅰ）若x=
3
4
π，設點D為線段OA上的動點，求|
OC
+
OD
|的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，
π
2
]，向量
m
=
BC
，
n
=(1-cosx，sinx-2cosx)，求
m
•
n
的最小值及對應的x值．

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