Question

9、已知S={1，2，3，…2010}，A⊆S且A中有三個(gè)元素，若A中的元素可構(gòu)成等差數(shù)列，則這樣的集合A共有（　�。�

A、C₂₀₁₀³個(gè)

B、A³₂₀₁₀個(gè)

C、2A²₁₀₀₅個(gè)

D、2C²₁₀₀₅個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)題意，首先將將s中的元素分為2奇數(shù)與偶數(shù)兩組；假設(shè)A中有2個(gè)元素為a、b，且a＜b；分析可得，當(dāng)且進(jìn)當(dāng)a、b同是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)；其等差中項(xiàng)在A中；由組合數(shù)公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，將s中的元素分為2組，一組為奇數(shù)，令一組為偶數(shù)；
假設(shè)A中有2個(gè)元素為a、b，且a＜b；
分析可得，當(dāng)且進(jìn)當(dāng)a、b同是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)；其等差中項(xiàng)在A中；
即在奇數(shù)組或偶數(shù)組中任取2個(gè)元素可以滿足條件；
則若A中的元素可構(gòu)成等差數(shù)列，則這樣的集合A共有2C²₁₀₀₅個(gè)；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：解本題的關(guān)鍵在于分析A中的三個(gè)元素構(gòu)成等差數(shù)列的充要條件，注意其中可能重復(fù)情況的分析與排除．