Question

研究函數(shù)的性質(zhì)，分別給出下面結(jié)論
①若x₁=-x₂，則一定有f（x₁）=-f（x₂）；
②函數(shù)f（x）在定義域上是減函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
④若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則對(duì)任意n∈N^*恒成立，
其中正確的結(jié)論有

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

C
分析：分析：根據(jù)題意，以此分析命題：①可由函數(shù)的奇偶性證得；②可結(jié)合①結(jié)論，先證x≥0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到f（x）的單調(diào)性；③與②的判斷方法一樣，先求x≥0時(shí)，函數(shù)的值域，進(jìn)而結(jié)合奇偶性得到函數(shù)在整個(gè)定義域上的值域；④由其形式知，此是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，故采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，即可得答案．
解答：若x₁=-x₂，則一定有f（x₁）===-f（x₂），故①正確；
當(dāng)x≥0時(shí)，為增函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，可得②錯(cuò)誤；
由②得當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇0，1），結(jié)合奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上，值域?qū)ΨQ，可得③正確；
④當(dāng)n=1，f₁（x）=，f₂（x）==，
假設(shè)n=k時(shí)，f_k（x）=成立，
則n=k+1時(shí)，f_k+1（x）==成立，
由數(shù)學(xué)歸納法知，④正確．
故選C
點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，函數(shù)的定義域，單調(diào)性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個(gè)問題在研究時(shí)往往是同時(shí)考慮的．