Question

1．已知雙曲線C₁的-個焦點是F（4，0），一條漸近線方程是$\sqrt{15}$x-y=0，拋物線C₂；y²=2px（p＞0）的準線恰好經(jīng)過雙曲線C₁的左頂點．
（1）求雙曲線C₁和拋物線C₂的標準方程；
（2）經(jīng)過雙曲線C₁焦點F的直線1與拋物線C₂交于A、B兩點，若O是坐標原點．求證：0A⊥0B．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），求得漸近線方程，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程；求得拋物線的準線方程和雙曲線的左頂點，解方程可得p，進而得到拋物線的方程；
（2）設(shè)直線1的方程為x=my+4，代入拋物線的方程，運用韋達定理和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，計算即可得證．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
即有c=4，a²+b²=16，
由漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，可得b=$\sqrt{15}$a，
解方程可得，a=1，b=$\sqrt{15}$，
即有雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1；
雙曲線的左頂點為（-1，0），
y²=2px（p＞0）的準線為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意可得-1=-$\frac{p}{2}$，解得p=2，
即有拋物線的方程為y²=4x；
（2）證明：經(jīng)過雙曲線C₁焦點F的直線1的方程為x=my+4，
代入拋物線的方程可得，y²-4my-16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，
x₁x₂=（my₁+4）（my₂+4）=m²y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16
=-16m²+16m²+16=16，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=16+16=0，
則0A⊥0B．

點評 本題考查雙曲線和拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運用韋達定理，考查運算能力，屬于中檔題．