Question

已知圓，圓．點O為坐標原點，點M是圓C₂上的一動點，線段OM交圓C₁于N，過點M作x軸的垂線交x軸于M，過點N作MM的垂線交MM于P．
（1）當動點M在圓C₂上運動時，求點P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)直線與軌跡C交于不同的兩點，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）當時，直線l與軌跡C相交于A，B兩點，求△OAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出點P的坐標，可以表示出或設(shè)出點M，N的坐標，再根據(jù)點M，N分別在圓C₂，C₁上，即可用點P的坐標表示點M的坐標，用“代點法”即可得出；
（2）利用（1）的軌跡C的方程與直線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)得到關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程，由于直線l與軌跡C交于不同的兩點，必須滿足△＞0即可求出；
（3）利用點到直線的距離公式和弦長公式即可得出．
解答：解（1）設(shè)點P（x，y）．則M（x，y_M），N（x_N，y）．從而
∵，∴．即．∴．
∵點M在圓C₂上，∴．整理得點P的軌跡C的方程：．
（2）聯(lián)立消y得到x²+2mx+5m²-20=0．
∵直線與軌跡C交于不同的兩點，∴△=（2m）²-4（5m²-20）＞0，即m²＜5．
∴實數(shù)m的取值范圍為．
（3）直線．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立消x得到．
則．

=．
直線．設(shè)O到直線AB的距離為d，則d=．
．
點評：熟練掌握直線與圓錐曲線的相交問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個未知數(shù)的一元二次方程求解問題進而轉(zhuǎn)化為△與0的大小比較問題、“代點法”、弦長公式、點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．