Question

已知雙曲線x²-y²=2的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）。
（1）證明·為常數(shù)；
（2）若動(dòng)點(diǎn)M滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)M的軌跡方程。

Answer 1

解：由條件知，設(shè)，
（1）當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，
此時(shí)
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是
代入，有
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，
所以，，
于是




綜上所述，為常數(shù)-1。
（2）設(shè)，則，，，，
由得：
即
于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，，即
又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線上，
所以，，兩式相減得，
，
即
將代入上式，化簡(jiǎn)得
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程
所以點(diǎn)M的軌跡方程是。