Question

在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，對任意a，b∈R，a*b為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：
（1）對任意a∈R，a*0=a；
（2）對任意a，b，c∈R，（a*b）*c=（ab）*c+（a*c）+（b*c）-2c．
如：3*2=（3*2）*0=（3×2）*0+（3*0）+（2*0）-2×0=6+3+2-0=11．
關于函數(shù)f（x）=（2x）*

1

2x

的性質(zhì)，有如下說法：
①函數(shù)f（x）的最小值為3；     
②函數(shù)f（x）的圖象關于點（0，1）成中心對稱；
③函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；   
④函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-

1

2

)，  &(

1

2

，+∞)．
其中所有正確說法的個數(shù)為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,命題的真假判斷與應用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由新定義可得：函數(shù)f（x）=1+2x+

1

2x

．
①利用基本不等式即可判斷出；
②判斷f（-x）+f（x）=2是否成立；
③判斷f（-x）+f（x）=0是否成立；
④利用導數(shù)解出f′（x）＞0即可．

解答： 解：由新定義可得：函數(shù)f（x）=（2x）*

1

2x

=（2x*

1

2x

）*0
=（2x•

1

2x

）*0+（2x*0）+（

1

2x

*0）-2×0
=1+2x+

1

2x

．
據(jù)此可得：
①當x＞0時，f（x）≥1+2

2x• 1 2x

=3，當且僅當x=

1

2

時取等號；同理可得：當x＜0時，f（x）≤1-2=-1．
∴①不正確；     
②∵f（-x）+f（x）=1-2x+

1

-2x

+1+2x+

1

2x

=2，
∴函數(shù)f（x）的圖象關于點（0，1）成中心對稱，因此正確；
③由②可知：f（-x）+f（x）≠0，可知：
函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，因此不正確；   
④由f′(x)=2-

1

2x2

=

2(x+ 1 2 )(x- 1 2 )

2x2

＞0，解得x＞

1

2

或x＜-

1

2

．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-

1

2

)，(

1

2

，+∞)，因此④正確．
綜上可知：只有②④正確．
故選：C．

點評：本題綜合考查了新定義、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，考查了解決新問題的能力，屬于難題．