Question

【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本C（x）（萬(wàn)
元），若年產(chǎn)量不足80千件，C（x）的圖象是如圖的拋物線，此時(shí)C（x）＜0的解集為（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年產(chǎn)量不小于80千件，C（x）=51x+ ﹣1450，每千件商品售價(jià)為50萬(wàn)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完；

（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵每件商品售價(jià)為0.005萬(wàn)元，

∴x千件商品銷售額為0.005×1000x萬(wàn)元，

①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）﹣ x2﹣10x﹣250=﹣ x2+40x﹣250；

②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣ +1450﹣250=1200﹣（x+ ）．

綜合①②可得，

（2）解：由（1）可知， ；

①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L（x）=﹣ x2+40x﹣250=﹣ （x﹣60）2+950

∴當(dāng)x=60時(shí)，L（x）取得最大值L（60）=950萬(wàn)元；

②當(dāng)x≥80時(shí)，L（x）=1200﹣（x+ ）≤1200﹣2 =1200﹣200=1000，

當(dāng)且僅當(dāng)，即x=100時(shí)，L（x）取得最大值L（100）=1000萬(wàn)元．

綜合①②，由于950＜1000，

∴當(dāng)產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，該廠在這一商品中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1000萬(wàn)元

【解析】（1）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，投入成本為，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；（2）根據(jù)年利潤(rùn)的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)x≥80時(shí)，利用基本不等式求最值，最后比較兩個(gè)最值，即可得到答案