Question

9．函數(shù)y=2sinπx（x∈R）的部分圖象如圖所示，設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是圖象的最高點，B是圖象與x軸的交點，則tan∠OPB的值為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 過P作PQ垂直于x軸，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得出點P、B和Q的坐標(biāo)，計算|PQ|，|OQ|，|BQ|的長，
利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠OPQ和tan∠BPQ，計算tan∠OPB的值即可．

解答 解：過P作PQ⊥x軸，如圖所示：

∵函數(shù)y=2sinπx，且P是圖象的最高點，B是圖象與x軸的交點，
∴P（$\frac{1}{2}$，2），B（2，0），
即|PQ|=2，|OQ|=$\frac{1}{2}$，|OB|=2，
∴|QB|=|OB|-|OQ|=$\frac{3}{2}$，
在Rt△OPQ中，tan∠OPQ=$\frac{|OQ|}{|PQ|}$=$\frac{1}{4}$，
在Rt△PQB中，tan∠BPQ=$\frac{|BQ|}{|PQ|}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠OPB=tan（∠OPQ+∠BPQ）=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{4}×\frac{3}{4}}$=$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，銳角三角函數(shù)定義以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，作出輔助線PQ，找P、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．