Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=C(C為常數(shù))成立，則稱函數(shù)f（x）在D上均值為C，給出下列四個函數(shù)①y=x³，②y=

2x

x-1

，③y=lg|x|，④y=2^x，則滿足在其定義域上均值為2的函數(shù)有

①②

（填上所有合題的函數(shù)序號）．

Answer 1

分析：由題意可得，均值為2，則

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4，要滿足已知的條件，則必需使所求的函數(shù)單調(diào)函數(shù)，還得讓函數(shù)滿足值域為R，然后結(jié)合已知函數(shù)逐項排除．

解答：解：由題意可得，均值為2，則

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4
①：y=x³在定義域R上單調(diào)遞增，對應(yīng)任意的x₁，則存在唯一x₂滿足x₁³+x₂³=4①正確
②：y=

2x

x-1

，在（-∞，1），（1，+∞）上單調(diào)遞減，對應(yīng)任意的x₁，則存在唯一x₂滿足

2x1

x1-1

+

2x2

x2-1

=4②正確
③y=lg|x|在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，
對應(yīng)任意的x₁＞0，則滿足lg|x₁|+lg|x₂|=4的x₂存在兩個值使之成立，故③不正確
④y=2^x滿足2^x₁+2^x₂=4，令x₁=3時，x₂不存在④錯誤
故答案為：①②．

點評：本題主要考查了函數(shù)的新定義，解決問題的關(guān)鍵是要根據(jù)已知定義，把題中的定義進行轉(zhuǎn)化，要求考生具備閱讀轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．