已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為(
3
，0)
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)）．求k的取值范圍．
（1）設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）．
由已知得a=
3
，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1．
故雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1．
（2）將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0．
由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得
1-3k2≠0
△=(6
2
k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0.

即k2≠
1
3
且k2＜1．①
設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），
則xA+xB=
6
2
k
1-3k2
，xAxB=
-9
1-3k2
，由
OA
•
OB
＞2得x AxB+yAyB＞2，
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
2
)(kxB+
2
)=(k2+1)xAxB+
2
k(xA+xB)+2=(k2+1)
-9
1-3k2
+
2
k
6
2
k
1-3k2
+2=
3k2+7
3k2-1
．
于是
3k2+7
3k2-1
＞2，即
-3k2+9
3k2-1
＞0，解此不等式得
1
3
＜k2＜3．②
由①、②得
1
3
＜k2＜1．
故k的取值范圍為(-1，-
3
3
)∪(
3
3
，1)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年龍巖一中沖刺文）（分）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn)，R是弦PQ的中點(diǎn).

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，且2|AB|=|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的跡方程，并說明該軌跡是什么曲線。

   （3）若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a，使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足，當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求a的取值范圍.

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