已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d≠0，an≠0(n∈N*)，

對于方程akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0(k∈N*)．

(1)求證：k取任意正整數(shù)，方程都有實數(shù)根；

(2)若方程不同的根依次為x1，x2，x3，…，xn，…，求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列．

答案：
解析：

　　證明：(1)∵{an}是等差數(shù)列，公差d≠0，an≠0(n∈N*)，

　　∴2ak+1＝ak＋ak+2．

　　代入已知方程，得akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0，

　　即(x＋1)(akx＋ak+2)＝0．

　　方程有解x＝－1，故不論k取何正整數(shù)，方程都有公共根－1，得證．

　　(2)當k取不同正整數(shù)時，，

　　∴．

　　故．

　　則．

　　∴數(shù)列{}是等差數(shù)列．

　　思路分析：(1)已知的一元二次方程，其系數(shù)ak，ak+1，ak+2為等差數(shù)列的相鄰三項，則可考慮用等差中項將一個系數(shù)用另外兩個系數(shù)的關(guān)系式表示，這樣可考慮將方程左端分解因式，看是否有與k無關(guān)的因式．(2)只要證明為一個常數(shù)即可．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義一個“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它后一項的積都是同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫“等積數(shù)列”，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=2，公積為5，則這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為：
 
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在一個數(shù)列中，如果?n∈N*，都有an•an+1•an+2=k（k為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=1，a2=3，公積為27，則a1+a2+a3+…+a18=
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一個項與它的后一項的積都為同一個常數(shù)，那末這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=2，公積為5，Tn為數(shù)列{an}前n項的積，則T2011=
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2
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

我們對數(shù)列作如下定義，如果?n∈N*，都有anan+1an+2=k（k為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=1，a2=2，公積為6，則a1+a2+a3+…+a9=
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列的定義為：在一個數(shù)列中，從第二項起，如果每一項與它的前一項的差都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公差．
（1）類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義；
（2）已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，求 a18的值，并猜出這個數(shù)列的通項公式（不要求證明）．

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