Question

13．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，A₁B⊥AC．D，E分別是BB₁，A₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面A₁BC；
（Ⅱ）若AB⊥BC，求證：A₁B⊥面ABC；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，AB=BC=1，$B{B_1}=\sqrt{2}$，求三棱錐A₁-BCC₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取A₁C中點F，連接BF，EF，可證EF∥CC₁，且$EF=\frac{1}{2}C{C_1}$，又由CC₁∥BB₁，D是BB₁的中點，可證EF∥DB，且EF=DB，從而證明DE∥BF，即可證明DE∥平面A₁BC．
（Ⅱ）由已知可證BC⊥平面ABB₁A₁，既有BC⊥A₁B．又A₁B⊥AC，AC∩BC=C，即可證明A₁B⊥面ABC．
（Ⅲ）由（Ⅱ）的結論得A₁B⊥AB，可證AB⊥平面A₁BC，A₁B₁⊥平面A₁BC，B₁C₁∥平面A₁BC，由已知可求A₁B=1，從而可求三棱錐A₁-BCC₁的體積．

解答 解：（Ⅰ）取A₁C中點F，連接BF，EF，
∵E是A₁C₁的中點，
∴EF∥CC₁，且$EF=\frac{1}{2}C{C_1}$，
又∵CC₁∥BB₁，D是BB₁的中點，
∴EF∥DB，且EF=DB，
∴四邊形BDEF是平行四邊形，
∴DE∥BF，而DE?平面A₁BC，BF?平面A₁BC，
∴DE∥平面A₁BC．…4分
（Ⅱ）∵AA₁⊥BC，AB⊥BC，而AB∩A₁B=B，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∴BC⊥A₁B．
又∵A₁B⊥AC，AC∩BC=C，
∴A₁B⊥面ABC．…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）的結論得A₁B⊥AB，
∵AB⊥BC，∴AB⊥平面A₁BC；
∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁⊥平面A₁BC．
由B₁C₁∥BC可知，B₁C₁∥平面A₁BC；
∵AB=1=A₁B₁，$A{A_1}=B{B_1}=\sqrt{2}$，
∴A₁B=1，
∴三棱錐A₁-BCC₁的體積：${V_{{A_1}-BC{C_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}BC}}={V_{{B_1}-{A_1}BC}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}BC}}•{A_1}{B_1}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1=\frac{1}{6}$．…12分．

點評 本題考查線面平行、垂直關系的判定與性質等基礎知識，考查空間想象能力，屬于中等題．