Question

已知函數(shù)．
（I）求g（x）的極小值；
（II）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求m的取值范圍；
（III）設(shè)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，x＞0，g′（x）=，
∴當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0；當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，
所以，g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，故g（x）_極小值=g（1）=1． …（4分）
（Ⅱ）∵y=f（x）-g（x）=，
∴y′=，
由于f（x）-g（x）在[1，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，
所以mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≥在[1，+∞）上恒成立，
∵（）_max=1，
∴m的取值范圍是[1，+∞）． …（8分）
（III）當(dāng)x=1時，f（1）-g（1）＜h（1）．
當(dāng)x∈（1，e]時，由f（x）-g（x）＞h（x），得m＞，令G（x）=，
則G′（x）=＜0，
所以G（x）在（1，e]上遞減，G（x）_min=G（e）=．
綜上，要在[1，e]上存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，必須且只需m＞．
分析：（Ⅰ）由題意，x＞0，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得g（x）的極小值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)y′=，根據(jù)f（x）-g（x）在[1，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，所以mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，利用分離參數(shù)法，即可求得m的取值范圍；
（III）當(dāng)x=1時，f（1）-g（1）＜h（1）；當(dāng)x∈（1，e]時，由f（x）-g（x）＞h（x），得m＞，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的最小值，即可求得m的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的求法及應(yīng)用、不等式中在恒成立和存在解不同狀況下的參數(shù)范圍的求法，考查學(xué)生運(yùn)算能力、思維能力和解決問題的能力，屬于難題．