Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx．（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知曲線y=f（x）與直線y=x相切，求a．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)f'（x），討論a的正負(fù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)切點(diǎn)，求出切線斜率，利用切點(diǎn)在直線上，代入方程，結(jié)合方程解的情況討論，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，
令g（x）=2ax²-1，x∈（0，+∞）
（i）當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，方程2ax²-1=0有兩根x₁=

1 2a

，x₂=-

1 2a

，
且x₁＞0，x₂＜0，此時(shí)當(dāng)x∈（0，

1 2a

）時(shí)，f'（x）＜0，
當(dāng)x∈（

1 2a

，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，

1 2a

）為減函數(shù)，在（

1 2a

，+∞）為增函數(shù)；
所以當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（

1 2a

，+∞），遞減區(qū)間為（0，

1 2a

）．
（2）設(shè)切點(diǎn)為M（t，t），t＞0．
則f'（t）=1，且at²-lnt=t，∴t-1+2lnt=0，（*）
由于1-1+2ln1=0，∴方程（*）有解t=1，
令g（t）=t-1+2lnt，
∵g'（t）=1+

2

t

＞0，g（t）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴方程（*）有唯一解t=1，
∴a×1²=1+ln1，
∴a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．