【題目】已知函數(shù)為常數(shù),).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上有兩個(gè)零點(diǎn),求的最小值.

【答案】見解析

【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,由,得. ...............2分

當(dāng)時(shí),對(duì)都有,當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:

0

+

0

_

極大值

此時(shí),的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為. ................4分

當(dāng)時(shí),.由,得.當(dāng)變化時(shí),,的變化如下表:

0

+

0

-

0

+

極大值

極小值

此時(shí),的遞增區(qū)間為,,遞減區(qū)間為.

當(dāng)時(shí),.此時(shí),的遞增區(qū)間為,無減區(qū)間. .....6分

當(dāng)時(shí),.由,得.當(dāng)變化時(shí),,的變化如下表:.

0

+

0

-

0

+

極大值

極小值

此時(shí),的遞增區(qū)間為,,遞減區(qū)間為.

綜上所述,當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為;

當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為;

當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,無減區(qū)間;

當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,,遞減區(qū)間為. ……8分

(2)當(dāng)時(shí),.由(1)可知,上為增函數(shù),

的極大值為,所以上有一個(gè)零點(diǎn).

,且上為減函數(shù),則必有. ................9分

要想函數(shù)上還有一個(gè)零點(diǎn),同時(shí)考慮到函數(shù)上為增函數(shù),

則只需,且.又因?yàn)?/span>,

,

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn),則的最小值為2. ................12分

綜上所述,若上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),的最小值為2. ……13分

練習(xí)冊(cè)系列答案
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