Question

已知偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
(1)求當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式；
(2)試討論：當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，且這4個(gè)零點(diǎn)從小到大依次構(gòu)成等差數(shù)列.

Answer 1

（1）；（2）①時(shí)，；②時(shí)，；③時(shí)，.

試題分析：本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)解析式、函數(shù)零點(diǎn)問題以及等差數(shù)列的定義，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力.第一問，先把轉(zhuǎn)化成，利用已知時(shí)的解析式，利用偶函數(shù)轉(zhuǎn)化解析式；第二問，把有4個(gè)零點(diǎn)，先轉(zhuǎn)化為與有4個(gè)交點(diǎn)且均勻分布，所以利用等差中項(xiàng)，偶函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)列出表達(dá)式，分情況進(jìn)行討論分析.
試題解析：（1）設(shè)則，，
又偶函數(shù)，
所以，.
（2）零點(diǎn)，與交點(diǎn)有4個(gè)且均勻分布，
（Ⅰ）時(shí)，    得，
所以時(shí)，， 
（Ⅱ）且時(shí) ，， ，
所以 時(shí)，，
（Ⅲ）時(shí)時(shí)，符合題意，
（Ⅳ）時(shí)，，，，，
此時(shí)，，所以或（舍）
且時(shí)，時(shí)存在.
綜上，①時(shí)，；
②時(shí)，；
③時(shí)，符合題意.