已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點，且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于，垂足為點，線段的垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（3）設(shè)與軸交于點，不同的兩點在上（與也不重合），且滿足，求的取值范圍.

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點間的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用直線與圓相切列出距離公式，求出橢圓中的基本量，比較簡單；第二問，考查拋物線的定義，本問主要考查理解題意的能力；第三問，與向量相結(jié)合，再加上基本不等式求最值.
試題解析：（1）由直線與圓相切，得，即.
由，得，所以，所以橢圓的方程是. （4分）
（2）由條件，知，即動點到定點的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義得點的軌跡的方程是.（6分）
（3）由（2）知，設(shè)，
∴
由，得，
∵，∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
又，
∵，∴當(dāng)，即時，.
故的取值范圍是.(12分)
考點：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.點到直線的距離公式；3.拋物線的定義；4.基本不等式.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓拋物線的焦點均在軸上，的中心和 的頂點均為坐標(biāo)原點從每條曲線上取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：











（Ⅰ）求分別適合的方程的點的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓的離心率．
（I）求橢圓的方程；（II）已知直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點．求證：以線段為直徑的圓恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線M： 的準(zhǔn)線過橢圓N： 的左焦點，以坐標(biāo)原點為圓心，以t（t>0）為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點A與點B，直線AB與x軸相交于點C.

（1）求拋物線M的方程.
（2）設(shè)點A的橫坐標(biāo)為x1，點C的橫坐標(biāo)為x2，曲線M上點D的橫坐標(biāo)為x1+2，求直線CD的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)點A（，0），B（，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積為.
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若直線過點F（1，0）且繞F旋轉(zhuǎn)，與圓相交于P、Q兩點，與軌跡C相交于R、S兩點，若|PQ|求△的面積的最大值和最小值（F′為軌跡C的左焦點）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓方程為，過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為.

(1)求橢圓方程.
(2)已知為橢圓的左右兩個頂點，為橢圓在第一象限內(nèi)的一點，為過點且垂直軸的直線，點為直線與直線的交點，點為以為直徑的圓與直線的一個交點，求證：三點共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中,點到兩點的距離之和等于4,設(shè)點的軌跡為,直線與交于兩點.
(1)寫出的方程;
(2) ，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，過拋物線的對稱軸上任一點作直線與拋物線交于、兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點.

（1）設(shè)，證明：；
（2）設(shè)直線AB的方程是，過、兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動圓C經(jīng)過點(0，m) (m>0)，且與直線y＝－m相切，圓C被x軸截得弦長的最小值為1，記該圓的圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲線C與曲線E的一個公共點，使它們在該點處有相同的切線？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.

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