Question

設O為坐標原點，A（-

1

p

，0），點M在定直線x=-p（p＞0）上移動，點N在線段MO的延長線上，且滿足

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

．
（Ⅰ）求動點N的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？
（Ⅱ）若|AN|的最大值≤

3

2

，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用直接法求軌跡方程即可，先設出點N坐標，把M點的坐標用N點坐標表示，再代入

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

，化簡，即可得動點N的軌跡方程，再按照p的取值范圍討論點N的軌跡是什么曲線．
（Ⅱ）用A，N的坐標表示|AN|，化簡可得含N點橫坐標的式子，再根據(jù)（Ⅰ）中得到的曲線范圍，求出|AN|的最大值，再令|AN|的最大值小于等于

3

2

，解出p即可．

解答：解：（Ⅰ）設N（x₀，y₀），（x₀＞0），則直線ON方程為y=

y0

x0

x，與直線x=-p交于點M（-p，-

py0

x0

），
代入

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

得，

(-p)2+(- py0 x0 )2

(x0+p)2+(y0+  py0 x0 )2

=

1

(x0+ 1 p )2+ y02

或

1 +( y0 x0 )2 |0-(-p)|

1 +( y0 x0 )2 |x0-(-p)|

=

1

(x0+ 1 p )2+y02

化簡得（p²-1）x₀²+p²y₀²=p²-1．
把x₀，y₀換成x，y得點N的軌跡方程為（p²-1）x²+p²y²=p²-1．（x＞0）
（1）當0＜p＜1時，方程化為x²-

y2

1-p2 p2

=1表示焦點在x軸上的雙曲線的右支；
（2）當p=1時，方程化為y=0，表示一條射線（不含端點）；
（3）當p＞1時，方程化為x²+

y2

p2-1 p2

=1表示焦點在x軸上的橢圓的右半部分．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知|AN|=

(x0+ 1 p )2+ y02

=

(x0+ 1 p )2+1- 1 p2 -(1- 1 p2 ) x02

=

1 p2 x02+ 2 p x0+ 1

=

1

p

x₀+1．

當0＜p＜1時，因x₀∈[1，+∞），故|AN|無最大值，不合題意．
當p=1，因x₀∈（0，+∞），故|AN|無最大值，不合題意．
當p＞1時，x₀∈（0，1]，故當x₀=1時，|AN|有最大值

1

p

+1，由題意得

1

p

+1≤

3

2

，
解得p≥2．所以p的取值范圍為[2，+∞）．
命題意圖：通過用設點，代換，化簡，檢驗等步驟求曲線方程，考查解析幾何中已知曲線求方程的能力，并結合含參數(shù)的方程表示的曲線類型的討論考查學生的分類討論思想的應用．

點評：本題考查了直接法求軌跡方程，以及最值的求法，綜合性強，做題時要認真分析．