Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為菱形的直四棱柱，P是棱DD₁的中點(diǎn)，∠BAD=60°，底面邊長為2，若PB與平面ADD₁A₁成45°角，求點(diǎn)A₁到平面ACP的距離．

Answer 1

【答案】分析：取AD的中點(diǎn)為E，連接BE，PB，則BE⊥ADD₁A₁，則∠EPB為PB與平面ADD₁A₁所成的角．依題意可分別計(jì)算出BE，PB，PD，DD₁，進(jìn)而以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OO₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A，C，P點(diǎn)可得，表示出和，設(shè)平面ACP的法向量=（x，y，z），求得x，y和z，把代入中可求得d．
解答：解：取AD的中點(diǎn)為E，連接BE，PB，則BE⊥ADD₁A₁，
∠EPB為PB與平面ADD₁A₁所成的角．
經(jīng)計(jì)算BE=，PB=，PD=，DD₁=2
以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OO₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
A（，0，0），C（-，0，0），P（0，-1，），
=（2，0，0），=（，1，-），
設(shè)平面ACP的法向量=（x，y，z），
由得=（0，，1），
而=（0，0，4），所以d==
點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)，線面間的距離計(jì)算．解題的關(guān)鍵是利用了法向量的知識來解決問題．